 La version numrique du sujet fournie en fichier texte (format *.txt) doit tre ouverte en tant que braille informatique. Elle sera affiche en braille 6 points. Lapplication  bloc-notes  des ordinateurs courants, ou des logiciels spcialiss peuvent tre utiliss.  dfaut, reportez-vous  la version en papier. 
Le candidat doit rdiger ses rponses sur un second fichier, et peut demander  un assistant ou  un secrtaire de recopier sa production de faon manuscrite sur une copie.
Un fichier en format *.pdf est galement fourni.
La page du document originale est indique par  PO 1  pour  page originale n1 . Les rfrences aux pages braille (sommaire, rfrences en cours de sujet) font rfrence au sujet braille emboss.  

po `1
braille intgral
`24-matj`1me1
baccalaurat gnral
preuve d'enseignement de spcialit
session `2024
mathmatiques
volume `1
sujet
mercredi `19 juin `2024
dure de l'preuve: `4 heures
l'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autoris.
l'usage de la calculatrice sans mmoire "type collge" est autoris.
ds que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
le sujet comporte `6 pages numrotes de `1  `6 dans la version originale.
la version en braille intgral est compose de deux volumes:
9o le sujet comportant `21 pages numrotes de `1  `21;
9o une annexe de `3 planches tactiles. l'ensemble des planches tactiles est propos sur papier thermogonfl. une feuille plastique vierge est  disposition du candidat brailliste pour l'exercice `2.
le candidat doit traiter les quatre exercices proposs.
le candidat est invit  faire figurer sur la copie toute trace de recherche, m2me incomplte ou non fructueuse, qu'il aura dveloppe.
la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prises en compte dans l'apprciation de la copie. les traces de recherche, m2me incompltes ou infructueuses, seront valorises.
sommaire
exercice `1 `4
exercice `2 `7
exercice `3 `14
exercice `4 `17
po `2
exercice `1 (`4 points)
pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. chaque rponse doit 2tre justifie. une rponse non justifie ne rapporte aucun point.
`1. on considre la fonction `f dfinie sur `r par: `'f(x)"5xe^-x;.
on note `c?f la courbe reprsentative de `f dans un repre orthonorm.
affirmation `1:
l'axe des abscisses est une asymptote horizontale  la courbe `c?f.
affirmation `2:
la fonction `f est solution sur `r de l'quation diffrentielle
`(e): `'y'!y"5e^-x;.
`2. on considre les suites `(u?n), `(v?n) et `(w?n), telles que, pour tout entier naturel `n: `u?n2v?n2w?n.
de plus, la suite `(u?n) converge vers `-1 et la suite `(w?n) converge vers `1.
affirmation `3:
la suite `(v?n) converge vers un nombre rel `l appartenant  l'intervalle `-1;1.
on suppose de plus que la suite `(u?n) est croissante et que la suite `(w?n) est dcroissante.
affirmation `4:
pour tout entier naturel `n, on a alors: `u?02v?n2w?0.
exercice `2 (`5 points) une agence de marketing a tudi la satisfaction des clients concernant le service clientle  l'occasion de l'achat d'un tlviseur. ces achats ont t raliss soit sur internet, soit dans une cha3ne de magasins d'lectromnager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.
les achats sur internet reprsentent `60 des ventes, les achats en magasin d'lectromnager `30 des ventes et ceux en grandes surfaces `10 des ventes.
une enqu2te montre que la proportion des clients satisfaits du service clientle est de:
9o `75 pour les clients sur internet;
9o `90 pour les clients en magasin d'lectromnager;
9o `80 pour les clients en grande surface. on choisit au hasard un client ayant achet le modle de tlviseur concern.
on dfinit les vnements suivants:
9o `i: "le client a effectu son achat sur internet";
9o `m: "le client a effectu son achat en magasin d'lectromnager";
9o `g: "le client a effectu son achat en grande surface";
9o `s: "le client est satisfait du service clientle". po `3 si `a est un vnement quelconque, on notera `:a son vnement contraire et `p(a) sa probabilit.
`1. reproduire et complter l'arbre ci-contre.
`;voir planche tactile no `1'
`2. calculer la probabilit que le client ait ralis son achat sur internet et soit satisfait du service clientle.
`3. dmontrer que `p(s)"0,8.
`4. un client est satisfait du service clientle. quelle est la probabilit qu'il ait effectu son achat sur internet? on donnera un rsultat arrondi  `10^-3 prs.
`5. pour raliser l'tude, l'agence doit contacter chaque jour `30 clients parmi les acheteurs du tlviseur. on suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des `30 clients  un tirage avec remise. on note `x la variable alatoire qui,  chaque chantillon de `30 clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientle.
a. justifier que `x suit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.
b. dterminer la probabilit, arrondie  `10^-3 prs, qu'au moins `25 clients soient satisfaits dans un chantillon de `30 clients contacts sur une m2me journe.
`6. en rsolvant une inquation, dterminer la taille minimale de l'chantillon de clients  contacter pour que la probabilit qu'au moins l'un d'entre eux ne soit pas satisfait soit suprieure  `0,99.
`7. dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s'intresse qu'aux seuls achats sur internet.
lorsqu'une commande de tlviseur est passe par un client, on considre que le temps de livraison du tlviseur est modlis par une variable alatoire `t gale  la somme de deux variables alatoires `t?1 et `t?2.
la variable alatoire `t?1 modlise le nombre entier de jours pour l'acheminement du tlviseur depuis un entrep4t de stockage vers une plateforme de distribution.
la variable alatoire `t?2 modlise le nombre entier de jours pour l'acheminement du tlviseur depuis cette plateforme jusqu'au domicile du client.
on admet que les variables alatoires `t?1 et `t?2 sont indpendantes, et on donne:
9o l'esprance `e(t?1)"4 et la variance `v(t?1)"2;
9o l'esprance `e(t?2)"3 et la variance `v(t?2)"1.
a. dterminer l'esprance `e(t) et la variance `v(t) de la variable alatoire `t.
b. un client passe une commande de tlviseur sur internet. justifier que la probabilit qu'il reoive son tlviseur entre `5 et `9 jours aprs sa commande est suprieure ou gale  `2/3.
po `4
exercice `3 (`5 points)
`;voir planche tactile no `2'
l'espace est muni d'un repre orthonorm `(o;:i,:j,:k).
on considre les points `a(5;5;0), `b(0;5;0), `c(0;0;10) et `d(0;0;-5/2).
`1.
a. montrer que
`:n?1 (1 `@ -1 `@ 0)
est un vecteur normal au plan `(cad).
b. en dduire que le plan `(cad) a pour quation cartsienne: `x-y"0.
`2. on considre la droite `d de reprsentation paramtrique
`'(x"5/2;t
y"5-5/2;t
z"0
o `t1r.
a. on admet que la droite `d et le plan `(cad) sont scants en un point `h. justifier que les coordonnes de `h sont `(5/2;5/2;0).
b. dmontrer que le point `h est le projet orthogonal de `b sur le plan `(cad).
`3.
a. dmontrer que le triangle `abh est rectangle en `h.
b. en dduire que l'aire du triangle `abh est gale  `25/4.
`4.
a. dmontrer que `(co) est la hauteur du ttradre `abch issue de `c.
b. en dduire le volume du ttradre `abch.
on rappelle que le volume d'un ttradre est donn par: `'v"1/3;bh o `b est l'aire d'une base et `h la hauteur relative  cette base.
`5. on admet que le triangle `abc est rectangle en `b. dduire des questions prcdentes la distance du point `h au plan `(abc).
po `5 exercice `4 (`6 points)
partie a: tude de la fonction `f.
la fonction `f est dfinie sur l'intervalle `0;!c par: `'f(x)"x-2!1/2;lnx;, o `ln dsigne la fonction logarithme nprien. on admet que la fonction `f est deux fois drivable sur `0;!c, on note `f' sa drive et `f'' sa drive seconde.
`1.
a. dterminer, en justifiant, les limites de `f en `0 et en `!c.
b. montrer que pour tout `x appartenant  `0;!c, on a: `'f'(x)"2x!1;/2x.
c. tudier le sens de variation de `f sur `0;!c.
d. tudier la convexit de `f sur `0;!c.
`2.
a. montrer que l'quation `f(x)"0 admet dans `0;!c une solution unique qu'on notera `a et justifier que `a appartient  l'intervalle `1;2.
b. dterminer le signe de `f(x) pour `x10;!c.
c. montrer que `ln(a)"2(2-a).
partie b: tude de la fonction `g.
la fonction `g est dfinie sur `0;1 par
`'g(x)"-7/8;x^2!x-1/4;x^2ln x;.
on admet que la fonction `g est drivable sur `0;1 et on note `g' sa fonction drive.
`1. calculer `g'(x) pour `x10;1 puis vrifier que `g'(x)"xf(1/x).
`2.
a. justifier que pour `x appartenant  l'intervalle `0;1/a, on a `f(1/x)@0.
b. on admet le tableau de signes suivant:
x '''''''''''''0 1/a 1
signe de f(1/x) ! 0 -
en dduire le tableau de variations de `g sur l'intervalle `0;1.
les images et les limites ne sont pas demandes.
po `6
partie c: un calcul d'aire.
voir planche tactile no `3
on a reprsent sur le graphique:
9o la courbe `c?g de la fonction `g;
9o la parabole `p d'quation `'y"-7/8;x^2!x sur l'intervalle 0;1. on souhaite calculer l'aire `a du domaine hachur compris entre les courbes `c?g et `p, et les droites d'quations `x"1/a et `x"1.
on rappelle que `ln(a)"2(2-a).
`1.
a. justifier la position relative des courbes `c?g et `p sur l'intervalle 0;1.
b. dmontrer l'galit:
`'?1/a;^1x^2lnx;dx
"-a^3-6a!13;/9a^3;
`2. en dduire l'expression en fonction de `a de l'aire `a.

